剑指offer-剪绳子

剪绳子

给一根一段长度为n的绳子，请把绳子剪成m段，每一段绳子为k[0] k[1] … k[m]，请问k[0]*k[1]…k[m]可能的乘积是多少？例如长度为8的绳子，我们把它剪成长度为2 3 3的三段，此时得到的最大乘积是18。

思路

把长度为n的绳子剪成若干段后各段长度乘积，剪第一刀的时候，有n-1中可能的选择，也就是长度分别为1,2,…n-1，因此f(n) = max(f(i)*f(n-i))，其中0<i<n。

这样的话就是从上到下的递归公式，会产生很多重复的子问题，从而产生大量不必要的重复计算。更好的方式是通过从下到上的顺序计算，也就是可以先得到f(2)、f(3)，再得到f(4)、f(5)，直到得到f(n)

代码

function maxProductAfterCutting_solution(length) {
    if (length === 1) {
        return 0;
    }
    if (length === 2) {
        return 1;
    }
    if (length == 3) {
        return 2;
    }

    const products = new Array(length + 1);
    products[0] = 0;
    products[1] = 1;
    products[2] = 2;
    products[3] = 3;

    let max = 0;

    for (let i=4; i <= length; i++) {
        max = 0;
        for (let j=1; j <= i/2; j++) {
            let product = products[j] * products[i - j];
            if (max < product) {
                max = product;
            }
            products[i] = max;
        }
    }

    max = products[length];
    return max;
}

复杂度分析

时间复杂度: O(N*M)
空间复杂度: O(N)

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