剑指offer Dynamic Programming

剑指offer-礼物的最大价值

Posted by franki on May 12, 2021

礼物的最大价值

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

示例

输入: 
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

思路

根据题目说明，易得某单元格只可能从上边单元格或左边单元格到达。

使用动态规划

动态转移方程

f(i,j)=max[f(i,j−1),f(i−1,j)]+grid(i,j)

f[i][j]

  • i=0, j=0 起始元素
  • i=0, j!=0 f[i][j-1] 矩阵第一行元素，只能从左边走过来
  • i!=0, j=0 f[i-1][j] 矩阵第一列元素，只能从上面走下来
  • i!=0 j!=0 Math.max(f[i][j-1], f[i-1][j]) 可从左边后者下边到达

代码

function maxValue(grid) {
    if (!grid) return null;
    const rows = grid.length;
    const columns = grid[0].length;

    for (let i=0; i<rows; i++) {
        for (let j=0; j<columns; j++) {
            if (i === 0 && j === 0) {
                continue;
            } else if (i === 0) { // 只能向左走
                grid[i][j] += grid[i][j-1];
            } else if (j === 0) { // 只能向上走
                grid[i][j] += grid[i-1][j];
            } else {
                grid[i][j] += Math.max(grid[i][j-1], grid[i-1][j]);
            }
        }
    }

    return grid[rows-1][columns-1];
}

复杂度分析

  • 时间复杂度: O(MN)
  • 空间复杂度: O(1)
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